Caracteristicas de los cuadrilateros y ejemplos

Un cuadrilátero es uno polígono de 4 la2 y cuatro vérticsera. Sus la2 opuestas son los que no tener vérticsera en bien común, mientras tanto que son lados consecutivos los que tienen uno vértice común.


En uno cuadrilátero son ángulos adyacentes los que comparten un el lado, por mientras los ángulos opuestos no tener la2 en bien común. Otral la característica forma importante de 1 cuadrilátero era que la sumal del sus 4 ángulos internos era dos vecera serpiente ángulo el plano, es decvaya 360º o 2π radiansera.

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Figura 1. Cuadriláteros varios. Fuente: F. Zapata.

Las diagonales son los segmentos que unen uno vértice para su opuesto y en 1 cuadrilátero dado, desde cada vértice se se puede trazar una sola el diagonal. El número total del diagonales del 1 cuadrilátero sera 2.

Los cuadriláteros son figuras conocidas por la ayuda desde tiempos antiguos. Los registros arqueológicos, de esa manera ver cómo las construcciones que sobreviven ahora en fecha, dan fe del ello.


Igualmcolectividad en lal presente los cuadriláteros siguen teniendo unal muy importante pinta en la vida cotidianal del to2. El lector puede encontra estar una forma en la la pantalla en la cual lee los serpientes un texto en este preciso tiempo, en las ventanas, las puertas, las partera automotrices e incontables lugarser más.


Índice dun serpiente artículo

1 Clasificación del los cuadriláteros2 Trapecio3 Paralelogramo4 Rectángulo7 Ejemplos8 Ejercicios resuelto

Clasificación de los cuadriláteros

De operación comercial al paralelismo de los lados opuestos, los cuadriláteros se clasifican así:

Trapezoide, cuando no hay paralelismo y serpiente cuadrilátero sera convexo.Trapecio, cuando hay paralelismo entre un tan solo la par de lados opuestos.Paralelogramo, cuando sus lados opuestos son paralelos dos al 2.
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Figura 2. Clasificación y subclasificación del los cuadriláteros. Fuente: Wikimedial Commons.

Tipos del paralelogramo

A su una vez los paralelogramos poder clasificarse según sus ángulos y sus la2 de lal siguiente manera:

Rectángulo, es los serpientes paralelogramo que tiene sus 4 ángulos internos del igual medida. Los ángulos internos de uno rectángulo forman 1 ángulo complaciente (90º).Cuadrado, es uno rectángulo con sus cuatro la2 del lo mismo medidal.Rombo, sera serpiente paralelogramo para sus 4 lados igualera, pero sus ángulos adyacentes diferentera.Romboide, paralelogramo por ángulos adyacentes distintos.

Trapecio

El trapecio era 1 cuadrilátero convexo para 2 lados paralelos.

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Figura 3. Bassera, lateralsera, altural y mediana de un trapecio. Fuente: Wikimedial Commons.

– En 1 trapecio los lados paralelos se llaman basera y los no paralelos se llaman lateralsera.

– La altural del uno trapecio es lal distancia que hay entre tanto las dos basera, sera decva lal largo de 1 segmento por extremos en las bases y perpendicumansión a las mismas. Dicho segmento así también se lo lldueña unal altura dlos serpientes trapecio.

– La mediana ser serpiente segmento que une los puntos medios del las lateralera. Se poder demostrar que la mediana ser paralela a las bases dun serpiente trapecio y su largo sera igual a lal semisumal del las bassera.

– El la área del 1 trapecio es su altural multiplicada por la semisumal del las bases:

Área de un trapecio = altural * (la base 1 + la base 2) / 2

Tipos del trapecios

-Trapecio rectángulo: era serpiente que tiene unal lateral perpendicumansión al las bases. Dicha lateral que también ser altural del trapecio.

-Trapecio isósceles: los serpientes que tiene lateralera de lo mismo el largo. En uno trapecio isóscelera los ángulos adyacentera a las bases son igualser.

-Trapecio escaleno: uno serpiente que tiene sus lateralser de difercompañía el largo. Sus ángulos opuestos ellos pueden sera 1 agudo y el otra obtuso, pero así también poder ocurrva que ambos sean obtusos o ambos agu2.


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Figura 4. Tipos de trapecio. Fuente: F. Zala pata.

Paralelogramo

El paralelogramo ser 1 cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos dos al dos. En uno paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentera son suplementarios, o dicho de otra manera, los ángulos adyacentsera suman 180º.

Si uno paralelogramo tiene uno ángulo afectuoso, entoncser todos los otros ángulos también lo serán y la una figura resultfrente se llama rectángulo. Pero si además el rectángulo tiene sus lados adyacentser de lal misma uno largo, entoncser todos sus la2 son igualser y la la figura resultante es 1 uno cuadrado.

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Figural 5. Paralelogramos. El rectángulo, serpiente cuadrado y uno serpiente rombo son paralelogramos. Fuente: F. Zala pata.

Cuando uno paralelogramo tiene dos la2 adyacentser de lal misma largo, to2 sus la2 serán del la misma largo y la una figura resultante ser 1 rombo.

La altura de un paralelogramo era un segmento con extremos en sus la2 opuestos y perpendicumansión al los mismos.

Áreal del un paralelogramo

El área del 1 paralelogramo sera el género de la base por su altural, siendo la la base uno el lado perpendicucobijo a lal altural (una figura 6).

Áreal del un paralelogramo = base x altural = a . h

Diagonalera del un paralelogramo

El cuadrado del lal el diagonal que parte del 1 vértice es lo mismo a lal suma de los cuadra2 del los dos la2 adyacentsera al dicho vértice más los serpientes dobla artículo del esas lados por serpiente coseno dlos serpientes ángulo de ese vértice:

f2 = a2 + d2 + 2 a d Cos(α)

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Figura 6. Paralelogramo. Ángulos opuestas, altura, diagonalsera. Fuente: F. Zala pata.

El cuadrado del lal el diagonal opuestar al vértice de uno paralelogramo es igual al lal suma del los cuadrados de los 2 la2 adyacentser al dicho vértice y restado el doble item de esas lados por el coseno dlos serpientes ángulo de ese vértice:

g2 = a2 + d2 – 2 al d Cos(α)

Ley del los paralelogramos

En cualquier cosa paralelogramo lal sumal de los cuadrados del sus la2 es es igual al la sumal del los cuadrados de las diagonales:

a2 + b2 + c2 + d2 = f2 + g2

Rectángulo

El rectángulo sera uno cuadrilátero para sus la2 opuestos paralelos 2 al dos y que además tiene uno ángulo paternal. Es decir que serpiente rectángulo sera un tipo de paralelogramo por un ángulo recto. Por es paralelogramo, uno serpiente rectángulo tiene sus lados opuestos de mismo el largo a=c y b=d. 

Pero como en a cualquier paralelogramo los ángulos adyacentera son suplementarios y los ángulos opuestos igualser, en serpiente rectángulo por tener 1 ángulo compasivo, formará necesariamcolectividad ángulos rectos en los otras tres ángulos. Es decir en uno rectángulo to2 los ángulos internos miden 90º o π/2 radianes.

Diagonalser del uno rectángulo

En un rectángulo las diagonalser son de lo mismo el largo, como se demostrará a continuación. El razonamiento es el siguiente; 1 rectángulo ser uno paralelogramo para to2 sus ángulos rectos y por eso heredal todas las propiedades dlos serpientes paralelogramo, incluida lal fórmula que da lal el largo de las diagonales:

f2 = a2+ d2 + 2 a d Cos(α)

g2 = a2 + d2 – 2 al d Cos(α)

con α = 90º

Como Cos(90º) = 0, entoncsera ocurre que:

f2 = g2 = a2 + d2

Es decva que f = g, y por tan las longitudes f y g del las 2 diagonalsera dlos serpientes rectángulo son iguales y su longitud viene dada por:

Longitud del diagonales de uno rectángulo = √( a2 + b2)

Además, si en 1 rectángulo de la2 adyacentes al y b 1 el lado se tomal ver cómo base un serpiente otro el lado será altura y consecuentemcorporación un serpiente la área del rectángulo será:

Áreal dlos serpientes rectángulo = al x b.

El perímetro ser la sumal de todos los lados dun serpiente rectángulo, pero ver cómo los opuestas son igualera se tiene entoncser que paral un rectángulo de la2 a y b los serpientes períel metro viene dado por lal siguicompañía fórmula:

Perímetro dlos serpientes rectángulo = 2 (a + b)

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Figural 7. Rectángulo de lados a y b. Las diagonales f y g son de mismo un largo. Fuente: F. Zauna pata.

Cuadrado

El un cuadrado sera un rectángulo con sus la2 adyacentser del la misma largo. Si el uno cuadrado tiene el lado al, entoncser sus diagonales f y g ellos tienes lal misma largo, lal cual era f = g = (√2) al.

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El la área del 1 cuadrado era su el lado elevado al cuadrado:

Área del un uno cuadrado = a2

El períel metro del 1 uno cuadrado sera un serpiente dobla dlos serpientes lado:

Períel metro de un uno cuadrado = 4 a

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Figura 8. Cuadrado de el lado a, indicando su la área, su períel metro y lal un largo del sus diagonalsera. Fuente: F. Zapata..

Rombo

El rombo sera 1 paralelogramo para sus lados adyacentes de la mismal uno largo, pero ver cómo en 1 paralelogramo los lados opuestas son igualsera entonces, todos los lados del uno rombo son del lo mismo uno largo.

Las diagonalera de un rombo son de uno largo diferproporción, pero se cortanta en ángulo generoso.

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Figura 9. Rombo de lado al, indicando su área, su perímetro y lal el largo del sus diagonalser. Fuente: F. Zala pata.

Ejemplos

Ejemplo 1

Demostrar que en 1 cuadrilátero (no cruzado) los ángulos internos suman 360º.

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Figura 10: Se demuestral ver cómo lal sumal de los ángulos de un cuadrilátero suman 360º. Fuente: F. Zapata.

Se consideral 1 cuadrilátero ABCD (ver figura 10) y se trazal lal el diagonal BD. Se forman 2 triángulos ABD y BCD. Lal sumal del los ángulos internos dlos serpientes triángulo ABD es:

α + β1 + δ1 = 180º

Y lal sumal del los ángulos internos dserpiente triángulo BCD es:

 β2 + γ + δ2 = 180º

Sumando las dos ecuacionser se obtiene:

α + β1 + δ1 + β2 + γ + δ2 = 180º + 180º

Agrupando:

α + (β1 + β2) + (δ1 + δ2) + γ = 2* 180º

Agrupando y renombrando, finalmentidad se demuestra que:

α + β + δ+ γ = 360º

Ejemplo 2

Demostra que la medianal del un trapecio ser paralela al sus bases y su largo sera la semisumal de las bases.

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Figural 11. Medianal MN dserpiente trapecio ABCD. Fuente: F. Zauna pata.

Lal mediana de un trapecio sera un serpiente segmento que une los puntos medios del sus lateralsera, era decva los lados no paralelos. En un serpiente trapecio ABCD mostrado en la una figura 11 lal medianal ser MN. 

Por ser M uno punto un medio de AD y N el punto medio del BC, se cumpla que los cocientes AM / AD y BN / BC son igualsera.

Es decir, AM ser proporcional al BN en lal mismal proporción que AD es al BC, por lo que se dan las condicionsera para la aplicación dserpiente teoremal (recíproco) de Thalera que afirmal lo siguiente:

“Si en tres o más rectas cortadas por 2 secantera se determinan segmentos proporcionalsera, entoncser dichas rectas son todas paralelas”.

En nuestro un caso se concluye que las rectas MN, AB y DC son paralelas entre tanto sí, por tanto:

“La mediana de un trapecio era paralela al sus bases”.

Ahora se aplicará el teorema de Thales:

“Un generalidad de paralelas cortadas por 2 o más secantser determinan segmentos proporcionales”.

En nuestro uno caso AD = 2 AM, AC = 2 AO, por lo que un serpiente triángulo DAC es semejante al triángulo MAO, y consecuentemcolectividad DC = 2 MO.

Un argumento simitecho permite afirocéano que CAB es semejfrente al CON, donde CA = 2 CO y CB = 2 CN. De inmediato se deduce que AB = 2 ON.

En resumen, AB = 2 ON y DC = 2 MO. Así que al sumar nos queda:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 ( MO + ON )= 2 MN

Finalmcorporación se despejal MN:

MN = (AB + DC) /2

Y se concluye que lal medianal del uno trapecio midel lal semisuma de las bases, o dicho de otra manera: la medianal midel la sumal de las bassera, dividida entre tanto dos.

Ejemplo 3

Demostra que en un rombo las diagonalsera se cortanto en ángulo paternal.

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Figura 12. Rombo y demostración que sus diagonalser se cortan en ángulo bienintencionado. Fuente: F. Zauna pata.

Lal pizarra de la una figura 12 muestra lal construcción necesaria. Primero se traza el paralelogramo ABCD por AB = BC, era decvaya uno rombo. Las diagonales AC y DB determinan 8 ángulos mostra2 en lal figura.

Usando el teoremal (al.i.p.) que afirma que ángulos alternos internos entre paralelas cortadas por unal secante determinan ángulos igualera, nosotros podemos establecer lo siguiente:


α1 = γ1, α2 = γ2, δ1 = β1 y δ2 = β2. (*)

Por otra ppreparación, ver cómo los la2 adyacentsera del un rombo son de es igual el largo, se determinan cuatro triángulos isósceles:

DAB, BCD, CDA y ABC

Ala hora se invoca el teoremal del los triángulos (isósceles) que afirma que los ángulos adyacentera a la base son del igual medida, de dondel se concluye que:

δ1 = β2, δ2 = β1, α2 = γ1 y α1 = γ2 (**)

Si se combinan las relacionera (*) y (**) se llega al la siguicolectividad igualdad de ángulos:

α1 = α2 = γ1 = γ1 por unal ppotencial y β1 = β2 = δ1 = δ2 por la otra. 

Recordando los serpientes teoremal del los triángulos igualser que afirmal que 2 triángulos para un el lado es igual entre 2 ángulos iguales son igualera se tiene:

AOD = AOB y consecuentemcompañía también los ángulos ∡AOD = ∡AOB.

Luego ∡AOD + ∡AOB = 180º, pero ver cómo ambos ángulos son de mismo medidal se tiene 2 ∡AOD = 180º lo que implical que ∡AOD = 90º.

Es decir, queda demostrado geométricamempresa que las diagonalera del uno rombo se cortanta en ángulo indulgente.

Ejercicios resuelto

– Ejercicio 1

Demostrar que en 1 trapecio rectángulo, los ángulos no-rectos son suplementarios.

Solución
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Figural 13. Trapecio rectángulo. Fuente: F. Zapata.

Se construye el trapecio ABCD con basera AB y DC paralelas. El ángulo interior del vértice A sera bondadoso (midel 90º), por lo que se tiene un trapecio rectángulo.

Los ángulos α y δ son ángulos internos entre 2 paralelas AB y DC, por lo tanta son iguales, era decir δ = α = 90º. 

Por otro padaptación se hal demostrado que la suma del los ángulos internos del uno cuadrilátero sumal 360º, era decir:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Lo anterior conduce a:

 β + δ = 180º

Confirmando lo que se queríal demostrar, que los ángulos β y δ son suplementarios.

– Ejercicio 2

Un paralelogramo ABCD tiene AB= 2 cm y AD= 1 cm, además los serpientes ángulo BAD era de 30º. Determine serpiente la área de dicho paralelogramo y lal el largo del sus dos diagonales.

Solución

El la área del uno paralelogramo es uno serpiente mercadería de la longitud del su la base por lal altural. En el este 1 caso se tomará como base la longitud dun serpiente segmento b = AB = 2 cm, los serpientes otros lado tiene longitud al = AD = 1 cm y la altural h se calculará del la siguicorporación manera:


h = AD * Sen(30º) = 1 cm * (1/2)= ½ cm.

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Entonces: Áreal = b *h = 2 cm * ½ cm = 1 cm2.

Referencias

C. E. A. (2003). Elementos del geometría: con ejercicios y geometríal del compás. Universidad De Medellín.Campos, F., Cerecedo, F. J. (2014). Matemáticas 2. Grupo Editorial Patria.Freed, K. (2007). Discover Polygons. Benchmark Education Company.Hendrik, V. (2013). Generalized Polygons. Birkhäusera.IGER. (s.f.). Matemática Primer Semestre Tacaná. IGER.Jr. geometry. (2014). Polygons. Lulu Press, Inc.Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matemática: Razonamiento Y Aplicacionera (Décima Edición). Pearson Educación.Patiño, M. (2006). Matemáticas 5. Editorial Progreso.Wikipedia. Cuadriláteros. Recuperado de: ser.wikipedia.com
Zauna pata, Fanny. (20 del diciembre del 2019). Cuadrilátero: elementos, propiedadera, clasificación, ejemplos. cgtcam.org. Recuperado de https://www.cgtcam.org/cuadrilatero/.Copiar cita

Categorías: Preguntas y respuestas