Caracteristicas de los cuadrilateros y ejemplos

Un cuadrilátero denominada un polígono de 4 lados y cuatro vértices. Sus lado opuestos son der que alguna tienen vértices dentro de común, mientras que estaban lados consecutivos los que tienen uno vértice común.


En un cuadrilátero son ángulos adyacentes los que cuota un lado, mientras los anglos opuestos no tienen lados en común. Otra características importante después un cuadrilátero es los la suma después sus cuatro ángulos internos es dos veces el esquina plano, es decir 360º o 2π radianes.

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Figura 1. Cuadriláteros varios. Fuente: F. Zapata.

Las diagonales son ese segmentos que unen uno vértice con su contender y en un cuadrilátero dado, son de cada vértice se quizás trazar una sola diagonal. Los número total de diagonales de un cuadrilátero es dos.

Los cuadriláteros ellos eran figuras bien conocido por la humanidad en ~ tiempos antiguos. Ese registros arqueológicos, de este modo como las edificios que sobreviven hoy dentro día, dan fe de ello.


Igualmente en la actualidad los cuadriláteros siguen habido una importante presencia dentro de la vida cotidiana de todos. Los lector puede encontrar esta forma dentro la pantalla en la como lee el texto en este preciso momento, dentro de las ventanas, ns puertas, las partes automotor e incontables rango más.


Índice del artículo

1 clasificación de ese cuadriláteros2 Trapecio3 Paralelogramo4 Rectángulo7 Ejemplos8 Ejercicios resuelto

Clasificación después los cuadriláteros

De aprobación al paralelismo después los lados opuestos, los cuadriláteros se clasifican así:

Trapezoide, cuando cuales hay paralelismo y ns cuadrilátero es convexo.Trapecio, cuándo hay paralelismo adelante un acabó par de lados opuestos.Paralelogramo, cuándo sus lado opuestos ellos eran paralelos dual a dos.
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figura 2. Clasificación y subclasificación del los cuadriláteros. Fuente: Wikimedia Commons.

Tipos ese paralelogramo

A su vez ese paralelogramos quizás clasificarse conforme sus ángulos y tu lados después la siguiente manera:

Rectángulo, denominada el paralelogramo que combinar sus cuatro ángulos internos de igual medida. Los ángulos internos de un rectángulo forman un ángulo recto (90º).Cuadrado, denominaciones un rectángulo alcanzar sus cuatro lados del igual medida.Rombo, es el paralelogramo con sus 4 lados iguales, pero sus anglos adyacentes diferentes.Romboide, paralelogramo con ángulos adyacentes distintos.

Trapecio

El trapecio es un cuadrilátero convexo con dos las fiestas paralelos.

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figura 3. Bases, laterales, altura y mediana después un trapecio. Fuente: Wikimedia Commons.

– en un trapecio los lados paralelos se llaman basen y los cuales paralelos se llamada telefónica laterales.

– La altitudes de uno trapecio eliminar la calle que hay adelante las dual bases, es contar la longitud del un segmento alcanzan extremos en las bases y perpendicular a las mismas. Dicho segmento ~ se le contar una altitudes del trapecio.

– La mediana denominada el segmento los une der puntos medios después las laterales. Se puede demostrar que la mediana eliminar paralela uno las basen del trapecio y su longitud denominaciones igual ns la semisuma del las bases.

– El área de uno trapecio denominada su altura multiplicada por la semisuma ese las bases:

Área después un trapecio = alturas * (base 1 + bases 2) / 2

Tipos del trapecios

-Trapecio rectángulo: es los que combinan una junto a perpendicular a las bases. Felicidad lateral también es alturas del trapecio.

-Trapecio isósceles: el que combinan laterales después igual longitud. En un trapecio isósceles los ángulo adyacentes uno las basen son iguales.

-Trapecio escaleno: el que combinación sus laterales de diferente longitud. Sus ángulo opuestos quizás ser uno afilado y ns otro obtuso, pero también puede despertó que los dos sean obtusos o ambos agudos.


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conformado 4. Tipos de trapecio. Fuente: F. Zapata.

Paralelogramo

El paralelogramo denominada un cuadrilátero oms lados opuestos son paralelos dual a dos. Dentro un paralelogramo los ángulo opuestos ellos eran iguales y los anglos adyacentes estaban suplementarios, o dicho después otra manera, los ángulo adyacentes hidrógeno 180º.

Si uno paralelogramo tiene un esquina recto, luego todos ese otros ángulos también lo serán y la figura resultante se llama rectángulo. Todavía si además de esto el rectángulo tiene sus lado adyacentes ese la misma longitud, después todos tu lados ellos eran iguales y la conformada resultante denominada un cuadrado.

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conformada 5. Paralelogramos. Los rectángulo, los cuadrado y ns rombo son paralelogramos. Fuente: F. Zapata.

Cuando ns paralelogramo tiene dos lado adyacentes de la misma longitud, todos sus en las páginas serán después la misma largo y la figura resultante es un rombo.

La altitudes de uno paralelogramo es un segmento alcanzar extremos dentro sus lado opuestos y perpendicular a der mismos.

Área de un paralelogramo

El área de un paralelogramo eliminar el producto ese la bases por su altura, ser la basen un página perpendicular ns la altitudes (figura 6).

Área del un paralelogramo = bases x alturas = un . H

Diagonales de un paralelogramo

El cuadrado del la diagonal los parte ese un vértice denominaciones igual ns la suma del los cuadrados ese los dual lados adyacentes a dicho vértice además el doble producto de esos lado por el coseno del esquina de los vértice:

f2 = a2 + d2 + 2 a d Cos(α)

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conformada 6. Paralelogramo. Ángulos opuestos, altura, diagonales. Fuente: F. Zapata.

El cuadrado después la diagonal opuesto al vértice después un paralelogramo es igual ns la suma ese los cuadrados del los doble lados adyacentes a hablar vértice y restado los doble producto del esos lado por los coseno del esquina de los vértice:

g2 = a2 + d2 – 2 a d Cos(α)

Ley después los paralelogramos

En no paralelogramo la suma después los cuadrados después sus lados denominaciones igual un la suma del los cuadrados del las diagonales:

a2 + b2 + c2 + d2 = f2 + g2

Rectángulo

El rectángulo eliminar un cuadrilátero con sus lados opuestos paralelos doble a doble y que además de esto tiene un esquina recto. Es contar que ns rectángulo denominaciones un tipo ese paralelogramo alcanzar un esquina recto. Por oveja paralelogramo, ns rectángulo combinación sus las fiestas opuestos después igual largo a=c y b=d. 

Pero como en no paralelogramo los anglos adyacentes son suplementarios y los anglos opuestos iguales, dentro el rectángulo por tener un ángulo recto, formará necesariamente ángulo rectos dentro los otro tres ángulos. Es decir en a rectángulo todo el mundo los ángulos internos miden 90º o π/2 radianes.

Diagonales de un rectángulo

En a rectángulo ns diagonales son después igual longitud, qué se demostrará a continuación. El razonamiento eliminar el siguiente; uno rectángulo denominada un paralelogramo con todos sus ángulo rectos y por él hereda todas las propiedades del paralelogramo, incluida la fórmula que da la longitud ese las diagonales:

f2 = a2+ d2 + 2 a d Cos(α)

g2 = a2 + d2 – 2 a d Cos(α)

con α = 90º

Como Cos(90º) = 0, entonces ocurre que:

f2 = g2 = a2 + d2

Es llama que f = g, y vía tanto las longitudes f y g del las doble diagonales ese rectángulo ellos eran iguales y su longitud viene dada por:

Longitud de diagonales de un rectángulo = √( a2 + b2)

Además, si dentro un rectángulo de lados adyacentes uno y b un página se aceptar como base el otro junto a será altura y consecuentemente el zona del rectángulo será:

Área de rectángulo = a x b.

El perímetro es la suma del todos ese lados ese rectángulo, todavía como los opuestos ellos eran iguales se combinación entonces que para un rectángulo ese lados a y b los perímetro proviene dado por la próxima fórmula:

Perímetro ese rectángulo = 2 (a + b)

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figura 7. Rectángulo después lados un y b. Los diagonales f y g son ese igual longitud. Fuente: F. Zapata.

Cuadrado

El cuadrado denominaciones un rectángulo alcanzar sus lados adyacentes ese la uno longitud. Si los cuadrado tiene lado a, entonces sus diagonales f y g tienen exactamente la misma longitud, la cual es f = g = (√2) a.

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El área de uno cuadrado eliminar su lado elevado al cuadrado:

Área después un nicks de aguja = a2

El perímetro ese un cuadrado denominaciones el doble de lado:

Perímetro de un nicks de aguja = cuatro a

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conformado 8. Cuadrado del lado a, señalando su área, su perímetro y la longitud ese sus diagonales. Fuente: F. Zapata..

Rombo

El rombo denominada un paralelogramo alcanzan sus lados adyacentes del la uno longitud, aun como en un paralelogramo ese lados opuestos son iguales entonces, todos los lados del un rombo son ese igual longitud.

Las diagonales ese un rombo son ese longitud diferente, pero se cortan en esquina recto.

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conformada 9. Rombo ese lado a, indicando su área, su perímetro y la longitud del sus diagonales. Fuente: F. Zapata.

Ejemplos

Ejemplo 1

Demostrar que dentro de un cuadrilátero (no cruzado) los ángulo internos hidrógeno 360º.

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figura 10: Se demuestra qué la suma ese los ángulo de ns cuadrilátero suman 360º. Fuente: F. Zapata.

Se considera un cuadrilátero ABCD (ver figura 10) y se traza la diagonal BD. Se forman dos triángulos ABD y BCD. La suma ese los ángulo internos de triángulo ABD es:

α + β1 + δ1 = 180º

Y la suma de los ángulos internos del triángulo BCD es:

 β2 + γ + δ2 = 180º

Sumando las doble ecuaciones se obtiene:

α + β1 + δ1 + β2 + γ + δ2 = 180º + 180º

Agrupando:

α + (β1 + β2) + (δ1 + δ2) + γ = 2* 180º

Agrupando y renombrando, finalmente se demuestra que:

α + β + δ+ γ = 360º

Ejemplo 2

Demostrar los la mediana ese un trapecio denominada paralela uno sus basen y su longitud denominada la semisuma del las bases.

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conformado 11. Mediana MN del trapecio ABCD. Fuente: F. Zapata.

La mediana después un trapecio eliminar el segmento ese une der puntos medios después sus laterales, es contar los lados alguna paralelos. En el trapecio ABCD mostrado en la figura once la mediana denominada MN. 

Por ser M señalar medio después AD y N señalar medio después BC, se seguir que los cocientes to be / advertisement y BN / BC ellos eran iguales.

Es decir, AM es proporcional un BN en la misma escala que AD denominaciones a BC, por lo ese se solamente las condiciones para la aplicación del teorema (recíproco) de Thales que afirma lo siguiente:

“Si en tres o hasta luego rectas cortadas por doble secantes se determinar segmentos proporcionales, entonces hablar rectas estaban todas paralelas”.

En nuestro situación se concluye que las rectas MN, ab y DC estaban paralelas adelante sí, de tanto:

“La mediana del un trapecio eliminar paralela a su bases”.

Ahora se aplicará ns teorema de Thales:

“Un combinado de paralelas corte por dos o además secantes determinan segmentos proporcionales”.

En nuestro caso AD = 2 AM, AC = 2 AO, por lo que los triángulo DAC es semejante al triangles MAO, y consecuentemente DC = dos MO.

Un razonamiento similar permite hablar que CAB eliminar semejante a CON, dónde CA = 2 CO y CB = 2 CN. Después inmediato se deduce los AB = dos ON.

En resumen, ab = 2 ON y DC = 2 MO. De este modo que al sumar nosotros queda:

AB + DC = dos ON + 2 MO = dos ( MO + ~ above )= 2 MN

Finalmente se despeja MN:

MN = (AB + DC) /2

Y se concluye ese la mediana del un trapecio mide la semisuma del las bases, o dicho de otra manera: la mediana mide la suma ese las bases, dividido entre dos.

Ejemplo 3

Demostrar que dentro un rombo las diagonales se cortan en ángulo recto.

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conformada 12. Rombo y protesta que de ellos diagonales se cortan en esquina recto. Fuente: F. Zapata.

La pizarra del la figura 12 muestra la construcción necesaria. Primeramente se traza ns paralelogramo ABCD con AB = BC, es decir un rombo. Las diagonales AC y DB decidir ocho anglos mostrados en la figura.

Usando ns teorema (a.i.p.) los afirma que ángulo alternos internos adelante paralelas corte por una secante determinan ángulo iguales, podemos establecer lo siguiente:


α1 = γ1, α2 = γ2, δ1 = β1 y δ2 = β2. (*)

Por es diferente parte, qué los lados adyacentes después un rombo son después igual longitud, se determinan cuatro triángulos isósceles:

DAB, BCD, CDA y ABC

Ahora se invoca los teorema de los triángulos (isósceles) ese afirma que los ángulos adyacentes a la basen son después igual medida, después donde se concluye que:

δ1 = β2, δ2 = β1, α2 = γ1 y α1 = γ2 (**)

Si se combinan las relación (*) y (**) se llegar a la próxima igualdad de ángulos:

α1 = α2 = γ1 = γ1 vía una divisiones y β1 = β2 = δ1 = δ2 por la otra. 

Recordando ns teorema de los triángulos igualdad que afirma que dos triángulos con un junto a igual entre dos ángulos iguales son iguales se tiene:

AOD = AOB y consecuentemente también los ángulo ∡AOD = ∡AOB.

Luego ∡AOD + ∡AOB = 180º, pero como los dos ángulos son ese igual valorar se tiene 2 ∡AOD = 180º lo ese implica los ∡AOD = 90º.

Es decir, queda probar geométricamente que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

Ejercicios resuelto

– práctica 1

Demostrar que en un trapecio rectángulo, los ángulo no-rectos ellos eran suplementarios.

Solución
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conformada 13. Trapecio rectángulo. Fuente: F. Zapata.

Se construye el trapecio ABCD con bases abdominal y DC paralelas. El esquina interior del vértice A denominada recto (mide 90º), por lo ese se combinan un trapecio rectángulo.

Los anglos α y δ son ángulos internos entre dos paralelas abdominal y DC, por lo tanto son iguales, es decir δ = α = 90º. 

Por otra parte se ha demostrado que la suma del los anglos internos ese un cuadrilátero unión 360º, eliminar decir:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Lo anterior conduce a:

 β + δ = 180º

Confirmando lo ese se deseaba demostrar, que los ángulos β y δ estaban suplementarios.

– actividad 2

Un paralelogramo ABCD tiene AB= dos cm y AD= uno cm, además de esto el ángulo BAD es después 30º. Identify el zona de proverbio paralelogramo y la longitud del sus dos diagonales.

Solución

El zona de un paralelogramo eliminar el producto del la longitud del su basen por la altura. Dentro este circunstancias se tomará como bases la longitud de segmento b = abdominal = dos cm, el otro lado combinan longitud a = advertisement = 1 cm y la altura h se calculará ese la desde el manera:


h = advertisement * Sen(30º) = 1 cm * (1/2)= ½ cm.

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Entonces: Área = b *h = dos cm * ½ centimeter = 1 cm2.

Referencias

C. E. A. (2003). Publicación de geometría: con ejercicios y geometría después compás. Universidad De Medellín.Campos, F., Cerecedo, F. J. (2014). Matemáticas 2. Grupo Editorial Patria.Freed, K. (2007). Uncover Polygons. Benchmark education and learning Company.Hendrik, V. (2013). Generalised Polygons. Birkhäuser.IGER. (s.f.). Matemática Primer Semestre Tacaná. IGER.Jr. Geometry. (2014). Polygons. Lulu Press, Inc.Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matemática: Razonamiento Y aplicaciones (Décima Edición). Pearson Educación.Patiño, M. (2006). Matemáticas 5. Editorial Progreso.Wikipedia. Cuadriláteros. Recuperado de: es.wikipedia.com
Zapata, Fanny. (20 ese diciembre de 2019). Cuadrilátero: elementos, propiedades, clasificación, ejemplos. Cgtcam.org. Recuperado después https://www.cgtcam.org/cuadrilatero/.Copiar cita